CP à CM215 formules
Les quatre opérations : règles et propriétés à connaître
Tout le calcul mental repose sur quelques règles très simples : on peut changer l’ordre d’une addition, répartir une multiplication sur une somme, retirer la même quantité aux deux termes d’une soustraction. Les connaître, c’est savoir pourquoi les astuces fonctionnent.
Cette page rassemble ces règles, avec un exemple chiffré pour chacune.
Les formules
5 formules sur 15 sont contrôlées automatiquement : le site les teste sur des valeurs tirées au hasard à chaque mise à jour. Les autres (définitions, conditions, relations entre grandeurs) ne se testent pas ainsi.
Les propriétés des opérations
Ordre d’une addition ou d’une multiplicationContrôlée
a + b = b + a et a × b = b × a
la soustraction et la division ne se retournent pas
RegroupementContrôlée
(a + b) + c = a + (b + c) et (a × b) × c = a × (b × c)
DistributivitéContrôlée
a × (b + c) = a × b + a × c et a × (b − c) = a × b − a × c
Éléments neutresContrôlée
a + 0 = a, a × 1 = a, a × 0 = 0
Conservation de l’écartContrôlée
a − b = (a + k) − (b + k)
on ajoute (ou on retire) le même nombre aux deux termes
Priorités et division
Priorités
parenthèses, puis × et ÷, puis + et −
à priorité égale, de gauche à droite
Division exacte
a ÷ b = q équivaut à b × q = a
b différent de 0
Division euclidienne
a = b × q + r avec 0 ≤ r < b
q est le quotient, r le reste
Moitié et double
a ÷ 2 est la moitié de a ; 2 × a est son double ; 4 × a = double du double
Les critères de divisibilité
Par 2
le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8
Par 3
la somme des chiffres est un multiple de 3
Par 4
les deux derniers chiffres forment un multiple de 4
Par 5
le dernier chiffre est 0 ou 5
Par 9
la somme des chiffres est un multiple de 9
Par 10
le dernier chiffre est 0
La méthode pas à pas
- Avant de calculer, regardez la forme du calcul : une somme, un produit, un mélange des deux avec des priorités.
- Cherchez une propriété qui simplifie : regrouper des nombres qui se complètent, répartir une multiplication, retirer le même nombre aux deux termes.
- Effectuez les calculs un par un, en réécrivant le calcul à chaque étape.
- Contrôlez avec un ordre de grandeur ou avec l’opération inverse.
Exemples résolus
7 + 3 × 5
7 + 3 × 5 = 7 + 15 = 22
On multiplie avant d’additionner : le résultat est 22, et non 50.
7 × 12
7 × 12 = 7 × 10 + 7 × 2 = 70 + 14 = 84
Distributivité : on coupe 12 en 10 + 2.
152 − 68
152 − 68 = 154 − 70 = 84
On ajoute 2 aux deux termes : l’écart ne change pas, et 70 est plus simple à retirer.
Division euclidienne de 47 par 9
5 × 9 + 2 = 45 + 2 = 47
Le quotient est 5 et le reste 2 : 47 = 9 × 5 + 2, avec 2 < 9.
2 145 est-il divisible par 3 ?
2 + 1 + 4 + 5 = 12
12 est un multiple de 3 : oui, 2 145 est divisible par 3 (et par 5, car il finit par 5).
Les pièges à éviter
- Ne calculez pas de gauche à droite quand il y a une multiplication : 2 + 3 × 4 vaut 14, pas 20.
- La soustraction et la division ne sont pas commutatives : 8 − 3 est différent de 3 − 8, et 8 ÷ 2 de 2 ÷ 8.
- Dans la distributivité, le facteur multiplie tous les termes de la parenthèse : 3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5, et non 3 × 4 + 5.
- Le reste d’une division euclidienne est toujours strictement plus petit que le diviseur.
S’entraîner
Chaque type d’équation ci-dessous se résout de tête avec la méthode de cette page : la réponse est toujours un nombre entier. Lancez une partie de dix questions, le jeu vous montre la méthode après chaque erreur.
Astuces de calcul mental liées : Les priorités des opérations : × et ÷ avant + et −, Décomposer pour multiplier, Soustraire en ajoutant la même quantité aux deux nombres, Les compléments à 10, 100 et 1 000, Les critères de divisibilité, Les doubles et les presque doubles.
Ce cours fait partie du programme de : CP, CE1, CE2, CM1, CM2.
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Relecture et vérification
Ce cours est rédigé par l’éditeur du site. Les exemples chiffrés sont recalculés à chaque mise à jour, et 5 formules sur 15 sont testées sur des valeurs aléatoires. Il n’a pas encore été relu par un enseignant de mathématiques : si vous repérez une erreur ou une formule manquante, signalez-la, elle sera corrigée.
Sources
- Programme de mathématiques pour le cycle 3Ministère de l’Éducation nationale, 2025 (Programme officiel, France)Citée ici pour : les quatre opérations, dont la distributivité de la multiplication sur l’addition, au cours moyen.
Ce que couvre cette source
Programme du cours moyen première et deuxième année et de la 6e (28 pages, PDF daté d’avril 2025 ; Éduscol le cite comme le Bulletin officiel n° 16 du 17 avril 2025). Il couvre les nombres entiers, les fractions, les nombres décimaux, les pourcentages (en 6e), le calcul mental, les quatre opérations, la résolution de problèmes, une initiation à l’algèbre, les grandeurs et mesures, la proportionnalité et la géométrie. Il ne couvre ni les vitesses, ni les puissances, ni les racines carrées, ni rien après la 6e.
Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.
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