Équations à résoudre, de la 6e au Bac+8

Forme : x + a = b

On fait l’opération inverse : pour x + 7 = 15, on calcule 15 − 7 = 8. Pour x − 7 = 15, on calcule 15 + 7 = 22.

Exemple : 17 + x = 73, donc x = 56

Forme : a × x = b

Pour 7 × x = 56, on cherche par quoi multiplier 7 pour obtenir 56 : x = 56 ÷ 7 = 8. Pour x ÷ 4 = 12, on calcule 12 × 4 = 48.

Exemple : 18 ÷ x = 6, donc x = 3

Forme : x + a = b

On retire (ou on ajoute) le même nombre des deux côtés. Pour x + 7 = 3, x = 3 − 7 = −4 : la solution peut être négative.

Exemple : −6 + x = −24, donc x = −18

Forme : a x = b

On divise les deux côtés par le nombre qui multiplie x, en appliquant la règle des signes : −4x = 24 donne x = 24 ÷ (−4) = −6.

Exemple : −9x = 63, donc x = −7

Forme : ax + b = c

On isole le terme en x en retirant b des deux côtés, puis on divise par a : 3x + 5 = 20 donne 3x = 15, donc x = 5.

Exemple : 9x − 19 = 35, donc x = 6

Forme : ax + b = cx + d

On regroupe les x d’un côté et les nombres de l’autre : 5x − 3 = 2x + 9 donne 3x = 12, donc x = 4.

Exemple : −5x − 8 = −x + 16, donc x = −6

Forme : a(x + b) = c

On divise d’abord par a, ou on développe : 3(x + 2) = 24 donne x + 2 = 8, donc x = 6.

Exemple : −4(x − 5) = −4, donc x = 6

Forme : x / a + b = c

On isole le quotient, puis on multiplie par le dénominateur : x / 4 + 3 = 8 donne x / 4 = 5, donc x = 20.

Exemple : x / 9 − 5 = −4, donc x = 9

Forme : (x − p)(x − q) = 0

Un produit est nul si l’un de ses facteurs l’est : (x − 3)(x + 5) = 0 donne x − 3 = 0 ou x + 5 = 0, donc x = 3 ou x = −5.

Exemple : (x − 8)(x + 5) = 0 (plus grande solution), donc x = 8

Forme : x² = n

On cherche le nombre dont le carré vaut n : x² = 49 a pour solutions 7 et −7, et la solution positive est 7.

Exemple : 4x² = 676 (solution positive), donc x = 13

Forme : a(x + b) = c(x + d)

On développe chaque côté, on regroupe les x, puis on divise : 2(x + 3) = 4(x − 1) donne 2x + 6 = 4x − 4, donc 10 = 2x et x = 5.

Exemple : 6(x + 4) = 4(x + 5), donc x = −2

Forme : a / x = b

Si a / x = b, alors x = a / b. Par exemple 36 / x = 4 donne x = 36 ÷ 4 = 9.

Exemple : −27 / x = 3, donc x = −9

Forme : |x − a| = b

La distance entre x et a vaut b, donc x = a + b ou x = a − b : |x − 3| = 5 donne x = 8 ou x = −2.

Exemple : |x − 4| = 8 (plus grande solution), donc x = 12

Forme : √(x + a) = b

On élève les deux côtés au carré : √(x + 3) = 5 donne x + 3 = 25, donc x = 22.

Exemple : √(x − 18) = 7, donc x = 67

Forme : (x + a) / (x + b) = c

On multiplie les deux côtés par x + b (qui ne doit pas être nul) : (x + 7) / (x + 2) = 2 donne x + 7 = 2x + 4, donc x = 3.

Exemple : (x + 20) / (x + 12) = 5, donc x = −10

Forme : ax² + bx + c = 0

On factorise ou on utilise le discriminant : x² − 2x − 15 = 0 s’écrit (x − 5)(x + 3) = 0, donc x = 5 ou x = −3.

Exemple : x² − 10x + 16 = 0 (plus grande solution), donc x = 8

Forme : a^x = b

On écrit le second membre comme une puissance de la même base : 2^x = 64 s’écrit 2^x = 2⁶, donc x = 6.

Exemple : 3^x = 9, donc x = 2

Forme : e^{px + q} = e^r

La fonction exponentielle est injective : e^u = e^v équivaut à u = v. Ainsi e^{2x + 1} = e⁹ donne 2x + 1 = 9, donc x = 4.

Exemple : e^{3x − 4} = e⁸, donc x = 4

Forme : ln(px + q) = ln(r)

La fonction ln est injective sur ]0 ; +∞[ : ln(u) = ln(v) équivaut à u = v. Ainsi ln(2x + 1) = ln(9) donne 2x + 1 = 9, donc x = 4.

Exemple : ln(3x + 6) = ln(42), donc x = 12

Forme : ln(x) + ln(a) = ln(b)

On regroupe les logarithmes (ln(x) + ln(3) = ln(3x)), puis on résout. Il faut garder les solutions pour lesquelles tout ce qui est dans ln est strictement positif : ln(x) + ln(x + 2) = ln(15) donne x² + 2x = 15, soit x = 3 ; la valeur −5 est refusée.

Exemple : ln(x) + ln(5) = ln(40), donc x = 8

Forme : (ax² + bx + c)' = 0

On dérive terme à terme, puis on résout : (x² − 6x + 5)' = 2x − 6, qui s’annule pour x = 3. Le sommet d’une parabole est à x = −b/(2a).

Exemple : (3x² − 6x + 7)' = 0, donc x = 1

Forme : ∫(0 ; x) 2kt dt = k·n²

Une primitive de 2t est t² : ∫(0 ; x) 2t dt = x². Ainsi ∫(0 ; x) 2t dt = 49 donne x² = 49, donc x = 7 (solution positive). De même, une primitive de 3t² est t³.

Exemple : ∫(0 ; x) 10t dt = 125 (solution positive), donc x = 5

Forme : det((x, a), (b, c)) = d

Le déterminant de ((p, q), (r, s)) vaut ps − qr. Ainsi det((x, 3), (2, 5)) = 14 s’écrit 5x − 6 = 14, donc x = 4.

Exemple : det((x, 9), (2, 2)) = −6, donc x = 6

Forme : |x + bi| = c

Le module de x + bi vaut √(x² + b²). Ainsi |x + 12i| = 13 donne x² + 144 = 169, donc x² = 25 et x = 5 (solution positive) : on reconnaît le triplet 5, 12, 13.

Exemple : |x + 7i| = 25 (solution positive), donc x = 24

Forme : ax ≡ r (mod m)

On cherche l’inverse de a modulo m : 3x ≡ 5 (mod 7) : 3 × 5 = 15 ≡ 1, donc 5 est l’inverse de 3, et x ≡ 5 × 5 = 25 ≡ 4. On vérifie : 3 × 4 = 12 ≡ 5.

Exemple : 4x ≡ 3 (mod 11) (solution de 1 à 10), donc x = 9

Forme : 1 + 2 + 4 + … + 2^x = S

La somme 1 + q + … + qⁿ vaut (qⁿ⁺¹ − 1)/(q − 1). Pour 1 + 2 + 4 + … + 2^x = 255, on a 2^x+1 − 1 = 255, donc 2^x+1 = 256 = 2⁸ et x = 7.

Exemple : 1 + 2 + 4 + … + 2^x = 31, donc x = 4

Forme : det((x, a, b), (0, c, d), (0, 0, e)) = D

Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de sa diagonale : det((x, 1, 2), (0, 3, 4), (0, 0, 5)) = 15x. Si c’est égal à 30, alors x = 2.

Exemple : det((x, 4, 4), (0, 3, 1), (0, 0, 6)) = −72, donc x = −4

Forme : C(x, k) = N

C(x, 2) = x(x − 1)/2 et C(x, 3) = x(x − 1)(x − 2)/6. Ainsi C(x, 2) = 45 donne x(x − 1) = 90 = 10 × 9, donc x = 10 (solution positive).

Exemple : C(x, 2) = 15 (solution positive), donc x = 6

Forme : y' = xy, y(0) = 1, y(t) = e^r

La solution de y' = ky avec y(0) = 1 est y = e^kt. Si y(2) = e⁶, alors e^2k = e⁶, donc 2k = 6 et k = 3.

Exemple : y' = xy, y(0) = 1, y(2) = e², donc x = 1

Forme : X ~ B(x ; p), E(X) = m

Pour X ~ B(n ; p), E(X) = np et V(X) = np(1 − p). Ainsi X ~ B(x ; 1/4) avec E(X) = 6 donne x/4 = 6, donc x = 24. Pour p = 1/2, V(X) = x/4.

Exemple : X ~ B(x ; 1/4), E(X) = 3, donc x = 12

Forme : Γ(x) = N

Pour un entier n, Γ(n) = (n − 1)!. Ainsi Γ(x) = 720 : 720 = 6!, donc x − 1 = 6 et x = 7 (solution entière).

Exemple : Γ(x) = 6 (solution entière), donc x = 4

Forme : φ(x) = n

φ(x) compte les entiers de 1 à x premiers avec x, et φ(p) = p − 1 pour p premier. Ainsi φ(x) = 12 : 13 est premier et φ(13) = 12 ; aucun entier plus petit ne convient, donc x = 13 (plus petite solution).

Exemple : φ(x) = 18 (plus petite solution), donc x = 19

Forme : x! se termine par n zéros

Le nombre de zéros de x! vaut x/5 + x/25 + x/125 + … (parties entières). Pour 6 zéros : 25! en a 5 + 1 = 6, et 24! en a 4 : la plus petite solution est x = 25.

Exemple : x! se termine par 2 zéros (plus petite solution), donc x = 10