PGCD et PPCM de deux nombres
Le PGCD de 252 et 198 est 18, leur PPCM est 2772. Entrez deux entiers pour obtenir leur PGCD, leur PPCM, leur décomposition en facteurs premiers, les étapes de l’algorithme d’Euclide et la fraction simplifiée.
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Deux nombres entiers
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Deux méthodes pour trouver le PGCD
L’algorithme d’Euclide
On divise, on garde le reste, on recommence avec le diviseur et le reste. Pour 252 et 198 :
- 252 = 198 × 1 + 54
- 198 = 54 × 3 + 36
- 54 = 36 × 1 + 18
- 36 = 18 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est le PGCD : 18. Le PPCM s’en déduit : 252 × 198 ÷ 18 = 2772.
La décomposition en facteurs premiers
252 = 2² × 3² × 7 et 198 = 2 × 3² × 11. Les facteurs communs sont pris avec le plus petit exposant pour le PGCD (18), et tous les facteurs avec le plus grand exposant pour le PPCM (2772).
À quoi ça sert
- Simplifier une fraction : on divise haut et bas par le PGCD. 18/24 devient 3/4.
- Additionner des fractions : le PPCM des dénominateurs est le plus petit dénominateur commun. Pour 1/2 + 1/3, c’est 6.
- Résoudre un problème de rencontre : deux bus qui passent toutes les 12 et 18 minutes se retrouvent au bout de 36 minutes (PPCM). On découpe un rectangle de 252 sur 198 en carrés égaux les plus grands possible : le côté est 18 (PGCD).
Pour vous entraîner : l’astuce critères de divisibilité, le cours sur les fractions et les décimaux et le cours sur les congruences et l’arithmétique, où l’algorithme d’Euclide sert à trouver un inverse modulaire.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que le PGCD ?
Le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux nombres est le plus grand entier qui divise les deux. Le PGCD de 252 et 198 est 18 : 252 = 18 × 14 et 198 = 18 × 11.
Qu’est-ce que le PPCM ?
Le PPCM (plus petit commun multiple) est le plus petit entier strictement positif multiple des deux nombres. Le PPCM de 12 et de 18 est 36 : c’est la première fois que deux bus qui passent toutes les 12 et 18 minutes repassent ensemble. Le lien avec le PGCD : PGCD × PPCM = produit des deux nombres (6 × 36 = 12 × 18).
Comment fonctionne l’algorithme d’Euclide ?
On divise le plus grand par le plus petit et on garde le reste, puis on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur est le PGCD. Pour 252 et 198 : 252 = 198 × 1 + 54 ; 198 = 54 × 3 + 36 ; 54 = 36 × 1 + 18 ; 36 = 18 × 2 + 0. Le dernier reste non nul est 18.
Comment simplifier une fraction ?
On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Pour 18/24, le PGCD est 6, donc 18/24 = 3/4. Une fraction est irréductible quand le PGCD vaut 1.
Comment trouver un dénominateur commun ?
Le plus petit dénominateur commun de deux fractions est le PPCM de leurs dénominateurs. Pour 1/2 + 1/3, le PPCM de 2 et 3 est 6 : 1/2 = 3/6 et 1/3 = 2/6, donc 1/2 + 1/3 = 5/6 (0,8333 en décimal).
Comment décomposer un nombre en facteurs premiers ?
On divise par 2 tant que c’est possible, puis par 3, puis par 5, 7, 11… jusqu’à obtenir 1. Ainsi 252 = 2² × 3² × 7 et 198 = 2 × 3² × 11. Le PGCD prend les facteurs communs avec le plus petit exposant, le PPCM tous les facteurs avec le plus grand exposant.
Jusqu’à quelle taille de nombres la page calcule-t-elle ?
Jusqu’à 1 000 000 000 000 (mille milliards). Le PPCM est calculé sur des entiers de grande taille : il reste exact même quand il dépasse largement ce plafond.
Sources
- Programme du cycle 4 (en vigueur à la rentrée 2020), partie mathématiquesMinistère de l’Éducation nationale (Bulletin officiel n° 31 du 30 juillet 2020), 2020 (Programme officiel, France)Citée ici pour : les fractions irréductibles et la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers (cycle 4) ; rien sur le PGCD ni le PPCM.
Ce que couvre cette source
Document de 139 pages qui rassemble tous les enseignements du cycle 4 ; seule la partie mathématiques a été lue. Elle couvre notamment la divisibilité (multiples, diviseurs, critères de divisibilité, division euclidienne, nombres premiers, fractions irréductibles, décomposition en produit de facteurs premiers), la racine carrée, les équations du premier degré, la moyenne et la proportionnalité. Elle ne mentionne pas le PGCD. Le programme de 2026 la remplace classe par classe, d’après l’article 3 de l’arrêté qui échelonne son entrée en application (5e en 2026, 4e en 2027, 3e en 2028) : une classe pas encore concernée suit encore ce texte.
- Programme de mathématiques pour le cycle 4Ministère de l’Éducation nationale (annexe 2 de l’arrêté du 18 février 2026), 2026 (Programme officiel, France)Citée ici pour : factoriser un entier (60 = 2² × 3 × 5) et simplifier une fraction (automatismes de 3e) ; rien sur le PGCD ni le PPCM.
Ce que couvre cette source
Annexe de 20 pages publiée au Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026. Elle s’applique à la 5e dès la rentrée 2026, à la 4e à la rentrée 2027 et à la 3e à la rentrée 2028 (article 3 de l’arrêté). Elle couvre les nombres et le calcul (opérations, nombres relatifs, puissances, racine carrée, multiples et diviseurs, calcul littéral et équations du premier degré), la géométrie, les données et probabilités (moyenne, médiane), la proportionnalité et les fonctions. Elle ne mentionne ni le PGCD ni les hausses et baisses en pourcentage, et ne dit rien au-delà de la 3e.
Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.
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