Bac+518 formules

Dénombrement et probabilités : formules à connaître

Dénombrer, c’est compter sans énumérer. Quatre outils suffisent presque toujours : la factorielle, les arrangements, les combinaisons et la formule du binôme.

Voici les formules, puis celles de la loi binomiale, qui décrit le nombre de succès dans une série d’épreuves identiques.

Les formules

5 formules sur 18 sont contrôlées automatiquement : le site les teste sur des valeurs tirées au hasard à chaque mise à jour. Les autres (définitions, conditions, relations entre grandeurs) ne se testent pas ainsi.

Compter

Factorielle
n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1
avec 0! = 1
Permutations
n! façons de ranger n objets distincts
ArrangementsContrôlée
A(n, k) = n! / (n − k)!
k objets pris dans l’ordre parmi n
CombinaisonsContrôlée
C(n, k) = n! / (k! (n − k)!)
k objets pris sans ordre parmi n
Cas courantsContrôlée
C(n, 0) = 1, C(n, 1) = n, C(n, 2) = n(n − 1) / 2, C(n, 3) = n(n − 1)(n − 2) / 6
SymétrieContrôlée
C(n, k) = C(n, n − k)
Relation de PascalContrôlée
C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k)
Formule du binôme
(a + b)ⁿ = somme, pour k de 0 à n, de C(n, k) a^{n − k} b^k
Somme des combinaisons
C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2ⁿ

Probabilités

Réunion
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événement contraire
P(non A) = 1 − P(A)
Probabilité conditionnelle
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
P(B) non nul
Indépendance
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

La loi binomiale B(n ; p)

Probabilité de k succès
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^{n − k}
Espérance
E(X) = n p
Variance
V(X) = n p (1 − p)
Écart-type
σ(X) = √(n p (1 − p))

Les zéros à la fin d’une factorielle

Formule de Legendre
zéros de n! = E(n / 5) + E(n / 25) + E(n / 125) + …
E désigne la partie entière ; on compte les facteurs 5, car il y a toujours assez de facteurs 2

La méthode pas à pas

Demandez-vous si l’ordre compte : oui, arrangement ; non, combinaison.
Pour une combinaison, simplifiez avant de multiplier : C(10, 3) = 10 × 9 × 8 / 3! sans calculer 10!.
Pour une loi binomiale, vérifiez que les épreuves sont identiques et indépendantes, puis identifiez n et p.
Pour les zéros finals de n!, additionnez les quotients entiers n/5, n/25, n/125…, tant que le diviseur ne dépasse pas n.

Exemples résolus

C(10, 3)
10 × 9 × 8 ÷ 6 = 720 ÷ 6 = 120
Il y a 120 façons de choisir 3 objets parmi 10.
C(x, 2) = 45, trouver x
45 × 2 = 90 = 10 × 9
x(x − 1) = 90 = 10 × 9, donc x = 10 (solution positive).
Espérance de B(24 ; 1/4)
24 ÷ 4 = 6
E(X) = 24 × 1/4 = 6.
Variance de B(20 ; 1/2)
20 × 0,5 × 0,5 = 10 × 0,5 = 5
V(X) = 5, soit un écart-type de √5.
P(X = 2) pour B(4 ; 1/2)
6 × 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 = 6 ÷ 16 = 0,375
C(4, 2) = 6, d’où P(X = 2) = 6/16 = 0,375.
Zéros à la fin de 25!
25 ÷ 5 + 25 ÷ 25 = 5 + 1 = 6
25! se termine par 6 zéros.
Zéros à la fin de 100!
100 ÷ 5 + 100 ÷ 25 = 20 + 4 = 24
100! se termine par 24 zéros (125 dépasse 100, on s’arrête).

Les pièges à éviter

Ne calculez jamais 20! pour simplifier C(20, 3) : simplifiez d’abord, car les factorielles deviennent immenses.
La loi binomiale suppose des épreuves indépendantes et de même probabilité : un tirage sans remise n’est pas binomial.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) seulement si A et B sont incompatibles ; sinon, retranchez P(A ∩ B).
Pour les zéros d’une factorielle, il faut compter les 25, 125… en plus des multiples de 5 : 25 compte pour deux facteurs 5.

S’entraîner

Chaque type d’équation ci-dessous se résout de tête avec la méthode de cette page : la réponse est toujours un nombre entier. Lancez une partie de dix questions, le jeu vous montre la méthode après chaque erreur.

Toutes ces équations, dix questions Coefficient binomial Espérance d’une loi binomiale Zéros à la fin d’une factorielle

Astuces de calcul mental liées : Calculer une fraction d’un nombre, Calculer une moyenne de tête.

Ce cours fait partie du programme de : Bac+5.

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Relecture et vérification

Ce cours est rédigé par l’éditeur du site. Les exemples chiffrés sont recalculés à chaque mise à jour, et 5 formules sur 18 sont testées sur des valeurs aléatoires. Il n’a pas encore été relu par un enseignant de mathématiques : si vous repérez une erreur ou une formule manquante, signalez-la, elle sera corrigée.

Sources

Programmes de mathématiques de la seconde, de la première et de la terminale générales (Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026)Ministère de l’Éducation nationale (arrêtés du 26 février 2026), 2026 (Programmes officiels, France)Citée ici pour : en terminale : listes, permutations, combinaisons, n!, coefficients binomiaux, loi binomiale B(n, p).
Ce que couvre cette source
Bulletin officiel de 438 pages dont trois programmes de mathématiques ont été lus : la seconde générale et technologique et la spécialité de première, applicables à la rentrée 2026-2027, et la spécialité de terminale, applicable à la rentrée 2027-2028 (jusque-là, l’arrêté de 2019 reste celui de la terminale). Les programmes de mathématiques complémentaires et ceux des voies technologique et professionnelle, publiés dans le même numéro, n’ont pas été lus. Ces trois textes ne mentionnent ni les nombres complexes, ni les matrices, ni la fonction Γ ; seul celui de seconde parle d’un déterminant, celui de deux vecteurs.

Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.

Mis à jour le 5 novembre 2026