Bac+311 formules

Suites et sommes : arithmétique, géométrique

Une suite arithmétique avance d’un pas constant, une suite géométrique se multiplie à chaque étape. Dans les deux cas, il existe une formule pour le terme de rang n et une formule pour la somme.

Voici les formules à connaître, avec les sommes usuelles qui reviennent partout en dénombrement et en probabilités.

Les formules

0 formule sur 11 est contrôlée automatiquement : le site les teste sur des valeurs tirées au hasard à chaque mise à jour. Les autres (définitions, conditions, relations entre grandeurs) ne se testent pas ainsi.

Suite arithmétique (raison r)

Terme général
uₙ = u₀ + n r
Depuis un autre rang
uₙ = uₚ + (n − p) r
Somme de u₀ à uₙ
u₀ + u₁ + … + uₙ = (n + 1)(u₀ + uₙ) / 2
nombre de termes × moyenne du premier et du dernier

Suite géométrique (raison q)

Terme général
uₙ = u₀ × qⁿ
Somme finie
1 + q + q² + … + qⁿ = (q^{n + 1} − 1) / (q − 1)
q différent de 1 ; vaut n + 1 si q = 1
Série géométrique
1 + q + q² + … = 1 / (1 − q)
si |q| < 1
Puissances de 2
1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ = 2^{n + 1} − 1

Les sommes usuelles

Entiers
1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2
Carrés
1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6
Cubes
1³ + 2³ + … + n³ = (n(n + 1) / 2)²
Impairs
1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

La méthode pas à pas

Identifiez le type : si la différence entre deux termes consécutifs est constante, la suite est arithmétique ; si le rapport l’est, elle est géométrique.
Repérez le premier terme, la raison et le nombre de termes à additionner (attention : de u₀ à uₙ, il y en a n + 1).
Appliquez la formule de la somme, puis contrôlez avec le nombre de termes et l’ordre de grandeur.

Exemples résolus

Somme de 1 à 100
100 × 101 ÷ 2 = 10 100 ÷ 2 = 5 050
La somme des 100 premiers entiers vaut 5 050.
Suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 4 : u₁₀
3 + 10 × 4 = 3 + 40 = 43
u₁₀ = 43.
Somme de u₀ à u₁₀ pour cette suite
11 × (3 + 43) ÷ 2 = 11 × 46 ÷ 2 = 253
Onze termes, de moyenne (3 + 43) / 2 = 23 : 11 × 23 = 253.
Somme des carrés de 1 à 10
10 × 11 × 21 ÷ 6 = 2 310 ÷ 6 = 385
1 + 4 + 9 + … + 100 = 385.
1 + 2 + 4 + … + 2^x = 255, trouver x
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 − 1 = 256 − 1 = 255
La somme vaut 2^{x + 1} − 1, donc 2^{x + 1} = 256 = 2⁸ et x = 7.
1 + 1/2 + 1/4 + … (série infinie)
1 ÷ (1 − 0,5) = 1 ÷ 0,5 = 2
La somme vaut 2, car |q| = 1/2 est inférieur à 1.

Les pièges à éviter

De u₀ à uₙ, il y a n + 1 termes, pas n : c’est l’erreur d’un cran la plus fréquente.
La formule de la somme géométrique demande q différent de 1 ; pour q = 1, la somme vaut simplement n + 1.
La série géométrique infinie ne converge que si |q| < 1 : pour q = 2, la somme infinie n’existe pas.
(1 + 2 + … + n)² est la somme des cubes, pas celle des carrés : ne confondez pas les deux formules.

S’entraîner

Chaque type d’équation ci-dessous se résout de tête avec la méthode de cette page : la réponse est toujours un nombre entier. Lancez une partie de dix questions, le jeu vous montre la méthode après chaque erreur.

Toutes ces équations, dix questions Somme d’une suite géométrique Inconnue en exposant

Astuces de calcul mental liées : Suites de nombres : le terme suivant, Calculer une moyenne de tête, La règle de 72 : doubler un capital.

Ce cours fait partie du programme de : Bac+3.

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Relecture et vérification

Ce cours est rédigé par l’éditeur du site. Les exemples chiffrés sont recalculés à chaque mise à jour, et 0 formule sur 11 est testée sur des valeurs aléatoires. Il n’a pas encore été relu par un enseignant de mathématiques : si vous repérez une erreur ou une formule manquante, signalez-la, elle sera corrigée.

Sources

Programmes de mathématiques de la seconde, de la première et de la terminale générales (Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026)Ministère de l’Éducation nationale (arrêtés du 26 février 2026), 2026 (Programmes officiels, France)Citée ici pour : les suites arithmétiques et géométriques et le calcul de 1 + q + … + q^n en première, les limites de suites en terminale.
Ce que couvre cette source
Bulletin officiel de 438 pages dont trois programmes de mathématiques ont été lus : la seconde générale et technologique et la spécialité de première, applicables à la rentrée 2026-2027, et la spécialité de terminale, applicable à la rentrée 2027-2028 (jusque-là, l’arrêté de 2019 reste celui de la terminale). Les programmes de mathématiques complémentaires et ceux des voies technologique et professionnelle, publiés dans le même numéro, n’ont pas été lus. Ces trois textes ne mentionnent ni les nombres complexes, ni les matrices, ni la fonction Γ ; seul celui de seconde parle d’un déterminant, celui de deux vecteurs.
Classes préparatoires MP et MPI : programme de mathématiquesMinistère de l’Enseignement supérieur, de la Recherche et de l’Innovation (Bulletin officiel n° 31 du 26 août 2021), 2021 (Programme officiel, France)Citée ici pour : les séries numériques et vectorielles (deuxième année de classe préparatoire MP et MPI).
Ce que couvre cette source
Programme de deuxième année (Bac+2) dans un Bulletin officiel de 567 pages qui en contient d’autres. Il couvre notamment les séries numériques et vectorielles et les équations différentielles linéaires. Il ne contient pas le programme de première année (MPSI), et il ne parle pas de la fonction Γ d’Euler (les « Γ » du texte désignent des courbes ou des couples). Daté de 2021 ; je n’ai pas vérifié s’il a été remplacé depuis.

Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.

Mis à jour le 5 novembre 2026