2de à 1re14 formules

Puissances, racines et valeur absolue : les formules

Les puissances, les racines carrées et la valeur absolue reviennent dans presque tous les calculs du lycée. Savoir quelques règles par cœur évite de longs développements.

Voici les formules utiles, puis la façon de résoudre les équations où l’inconnue se trouve sous une racine, dans une valeur absolue ou en exposant.

Les formules

11 formules sur 14 sont contrôlées automatiquement : le site les teste sur des valeurs tirées au hasard à chaque mise à jour. Les autres (définitions, conditions, relations entre grandeurs) ne se testent pas ainsi.

Les puissances

ProduitContrôlée
a^m × aⁿ = a^{m + n}
QuotientContrôlée
a^m ÷ aⁿ = a^{m − n}
a différent de 0
Puissance d’une puissanceContrôlée
(a^m)ⁿ = a^{m × n}
Puissance d’un produitContrôlée
(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
Exposant nulContrôlée
a⁰ = 1
a différent de 0
Exposant négatifContrôlée
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
a différent de 0
Puissance moins un (l’inverse)Contrôlée
x⁻¹ = 1 / x
x différent de 0 ; l’inverse de 2 est 0,5 et celui de 4 est 0,25

Les racines carrées

DéfinitionContrôlée
√a × √a = a
a positif ou nul
ProduitContrôlée
√(a × b) = √a × √b
a et b positifs
QuotientContrôlée
√(a / b) = √a / √b
a positif, b strictement positif
Carré d’un nombreContrôlée
√(a²) = |a|
et non a : √((−3)^2) = 3

La valeur absolue

DéfinitionContrôlée
|x| = x si x ≥ 0, et |x| = −x sinon
la distance de x à 0
Équation
|x − a| = b donne x = a + b ou x = a − b
b positif ou nul
Inéquation
|x − a| < b équivaut à a − b < x < a + b

La méthode pas à pas

Avec une racine : isolez-la, puis élevez les deux côtés au carré. √(u) = b donne u = b², avec b positif.
Avec une valeur absolue : lisez-la comme une distance. |x − a| = b veut dire que x est à la distance b du nombre a.
Avec l’inconnue en exposant : écrivez chaque côté comme une puissance de la même base, puis égalez les exposants.
Vérifiez toujours : élever au carré peut introduire une fausse solution.

Exemples résolus

√(x + 3) = 5
5² − 3 = 25 − 3 = 22
x = 22. Vérification : √25 = 5.
|x − 3| = 5
3 + 5 = 8
x = 8 ou x = 3 − 5 = −2 : les deux nombres sont à la distance 5 de 3.
2^x = 64
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
64 = 2⁶, donc x = 6 : on égale les exposants.
(x + 7) / (x + 2) = 2
2 × (3 + 2) = 10 = 3 + 7
On multiplie par x + 2 (non nul) : x + 7 = 2x + 4, donc x = 3. Vérification : 10 / 5 = 2.

Les pièges à éviter

√(a²) vaut |a|, pas a : la racine carrée d’un nombre est toujours positive.
√(a + b) n’est pas √a + √b : √(9 + 16) = 5, alors que √9 + √16 = 7.
Une valeur absolue ne peut pas être égale à un nombre négatif : |x| = −2 n’a aucune solution.
x puissance −1 n’est pas −x : c’est l’inverse 1/x. Ainsi 5⁻¹ vaut 0,2, et non −5.
Après avoir élevé au carré, une solution peut ne pas convenir : √(x) = −2 devient x = 4, qui ne vérifie pas l’équation de départ.

S’entraîner

Chaque type d’équation ci-dessous se résout de tête avec la méthode de cette page : la réponse est toujours un nombre entier. Lancez une partie de dix questions, le jeu vous montre la méthode après chaque erreur.

Toutes ces équations, dix questions Équation avec un carré Équation avec une racine carrée Valeur absolue Inconnue en exposant Équation avec un quotient de deux expressions Inconnue au dénominateur

Astuces de calcul mental liées : Équation x² = a : chercher la racine, Équation avec une racine carrée, Équation avec une valeur absolue, Équation avec x en exposant : comparer les puissances, Racine carrée d’un carré parfait, de tête.

Ce cours fait partie du programme de : 2de, 1re.

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Les quatre opérations Fractions et nombres décimaux Périmètres, aires et volumes Proportionnalité, vitesse et unités Pourcentages et évolutions Équations du premier degré Second degré Exponentielle et logarithme Dérivées et intégrales Déterminant Nombres complexes Suites et sommes Congruences et arithmétique Dénombrement et probabilités Équations différentielles Factorielle et fonction Gamma

Relecture et vérification

Ce cours est rédigé par l’éditeur du site. Les exemples chiffrés sont recalculés à chaque mise à jour, et 11 formules sur 14 sont testées sur des valeurs aléatoires. Il n’a pas encore été relu par un enseignant de mathématiques : si vous repérez une erreur ou une formule manquante, signalez-la, elle sera corrigée.

Sources

Programme de mathématiques pour le cycle 4Ministère de l’Éducation nationale (annexe 2 de l’arrêté du 18 février 2026), 2026 (Programme officiel, France)Citée ici pour : les puissances et la notation scientifique, la racine carrée (4e et 3e) et la définition de la valeur absolue d’un nombre (5e).
Ce que couvre cette source
Annexe de 20 pages publiée au Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026. Elle s’applique à la 5e dès la rentrée 2026, à la 4e à la rentrée 2027 et à la 3e à la rentrée 2028 (article 3 de l’arrêté). Elle couvre les nombres et le calcul (opérations, nombres relatifs, puissances, racine carrée, multiples et diviseurs, calcul littéral et équations du premier degré), la géométrie, les données et probabilités (moyenne, médiane), la proportionnalité et les fonctions. Elle ne mentionne ni le PGCD ni les hausses et baisses en pourcentage, et ne dit rien au-delà de la 3e.
Programmes de mathématiques de la seconde, de la première et de la terminale générales (Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026)Ministère de l’Éducation nationale (arrêtés du 26 février 2026), 2026 (Programmes officiels, France)Citée ici pour : en seconde : les règles de calcul sur les puissances entières relatives et les racines carrées, la relation √a² = |a|, la valeur absolue comme distance à 0.
Ce que couvre cette source
Bulletin officiel de 438 pages dont trois programmes de mathématiques ont été lus : la seconde générale et technologique et la spécialité de première, applicables à la rentrée 2026-2027, et la spécialité de terminale, applicable à la rentrée 2027-2028 (jusque-là, l’arrêté de 2019 reste celui de la terminale). Les programmes de mathématiques complémentaires et ceux des voies technologique et professionnelle, publiés dans le même numéro, n’ont pas été lus. Ces trois textes ne mentionnent ni les nombres complexes, ni les matrices, ni la fonction Γ ; seul celui de seconde parle d’un déterminant, celui de deux vecteurs.

Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.

Mis à jour le 5 novembre 2026