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Exponentielle et logarithme : formules et équations

L’exponentielle et le logarithme népérien sont deux fonctions réciproques : l’une défait l’autre. Presque toutes les équations de Terminale s’appuient sur cette idée.

Voici les formules à connaître, la méthode pour résoudre une équation et le piège du domaine de définition.

Les formules

9 formules sur 14 sont contrôlées automatiquement : le site les teste sur des valeurs tirées au hasard à chaque mise à jour. Les autres (définitions, conditions, relations entre grandeurs) ne se testent pas ainsi.

L’exponentielle

ValeursContrôlée
e⁰ = 1 et e¹ = e
ProduitContrôlée
e^{a + b} = e^a × e^b
InverseContrôlée
e^−a = 1 / e^a
PuissanceContrôlée
(e^a)ⁿ = e^{n a}
Injectivité
e^u = e^v équivaut à u = v
Positivité
e^x > 0 pour tout réel x
Dérivée
(e^x)' = e^x et (e^u)' = u' e^u

Le logarithme népérien

ValeursContrôlée
ln(1) = 0 et ln(e) = 1
ProduitContrôlée
ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
a et b strictement positifs
QuotientContrôlée
ln(a / b) = ln(a) − ln(b)
PuissanceContrôlée
ln(aⁿ) = n ln(a)
Fonctions réciproquesContrôlée
ln(e^x) = x et e^{ln x} = x
x strictement positif pour la seconde
Injectivité
ln(u) = ln(v) équivaut à u = v
u et v strictement positifs
Dérivée
(ln x)' = 1 / x et (ln u)' = u' / u

La méthode pas à pas

Déterminez le domaine : pour ln(u), il faut u > 0.
Ramenez l’équation à ln(u) = ln(v) ou à e^u = e^v, grâce aux formules du produit et du quotient.
Égalez les expressions : u = v, puis résolvez l’équation obtenue.
Gardez uniquement les solutions du domaine de définition.

Exemples résolus

ln(2x + 1) = ln(9)
(9 − 1) ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4
x = 4. Le domaine est vérifié : 2 × 4 + 1 = 9 > 0.
e^{3x − 2} = e⁷
(7 + 2) ÷ 3 = 9 ÷ 3 = 3
x = 3, car on égale les exposants : 3x − 2 = 7.
ln(x) + ln(x + 2) = ln(15)
3 × (3 + 2) = 3 × 5 = 15
On regroupe : x(x + 2) = 15, soit x² + 2x − 15 = 0, de solutions 3 et −5. Seul 3 est dans le domaine (x > 0).

Les pièges à éviter

ln(a + b) n’est pas ln(a) + ln(b) : la formule ne concerne que le produit.
On ne peut utiliser ln(u) que si u > 0 : toute solution qui rend un argument négatif ou nul est à rejeter.
ln(aⁿ) = n ln(a) demande a > 0 ; pour a négatif, écrivez ln(a²) = 2 ln|a|.
e^{a + b} est un produit e^a × e^b, jamais une somme.

S’entraîner

Chaque type d’équation ci-dessous se résout de tête avec la méthode de cette page : la réponse est toujours un nombre entier. Lancez une partie de dix questions, le jeu vous montre la méthode après chaque erreur.

Toutes ces équations, dix questions Équation avec l’exponentielle Équation avec le logarithme népérien Propriétés du logarithme et domaine de définition

Astuces de calcul mental liées : Équation avec x en exposant : comparer les puissances, La règle de 72 : doubler un capital.

Ce cours fait partie du programme de : Terminale.

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Les quatre opérations Fractions et nombres décimaux Périmètres, aires et volumes Proportionnalité, vitesse et unités Pourcentages et évolutions Équations du premier degré Puissances, racines et valeur absolue Second degré Dérivées et intégrales Déterminant Nombres complexes Suites et sommes Congruences et arithmétique Dénombrement et probabilités Équations différentielles Factorielle et fonction Gamma

Relecture et vérification

Ce cours est rédigé par l’éditeur du site. Les exemples chiffrés sont recalculés à chaque mise à jour, et 9 formules sur 14 sont testées sur des valeurs aléatoires. Il n’a pas encore été relu par un enseignant de mathématiques : si vous repérez une erreur ou une formule manquante, signalez-la, elle sera corrigée.

Sources

Programmes de mathématiques de la seconde, de la première et de la terminale générales (Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026)Ministère de l’Éducation nationale (arrêtés du 26 février 2026), 2026 (Programmes officiels, France)Citée ici pour : la fonction exponentielle en première, dont la dérivée de t ↦ e^(at), et le logarithme népérien, réciproque de l’exponentielle, en terminale.
Ce que couvre cette source
Bulletin officiel de 438 pages dont trois programmes de mathématiques ont été lus : la seconde générale et technologique et la spécialité de première, applicables à la rentrée 2026-2027, et la spécialité de terminale, applicable à la rentrée 2027-2028 (jusque-là, l’arrêté de 2019 reste celui de la terminale). Les programmes de mathématiques complémentaires et ceux des voies technologique et professionnelle, publiés dans le même numéro, n’ont pas été lus. Ces trois textes ne mentionnent ni les nombres complexes, ni les matrices, ni la fonction Γ ; seul celui de seconde parle d’un déterminant, celui de deux vecteurs.

Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.

Mis à jour le 5 novembre 2026