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    Bac+216 formules

    Nombres complexes : module, conjugué et formules

    Un nombre complexe s’écrit a + bi, où i est un nombre tel que i² = −1. On le représente par le point de coordonnées (a, b) dans le plan.

    Voici les formules pour calculer avec les complexes, trouver leur module et leur argument, et les mettre sous forme trigonométrique.

    Les formules

    2 formules sur 16 sont contrôlées automatiquement : le site les teste sur des valeurs tirées au hasard à chaque mise à jour. Les autres (définitions, conditions, relations entre grandeurs) ne se testent pas ainsi.

    Opérations

    • Définition

      i2 = −1 et z = a + b i

    • Somme

      (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

    • Produit

      (a + b i)(c + d i) = (a c − b d) + (a d + b c) i

    • Conjugué

      z̄ = a − b i et z × z̄ = a2 + b2

    • Inverse

      1 / z = z̄ / (a2 + b2)

    • Quotient

      (a + b i) / (c + d i) = (a + b i)(c − d i) / (c2 + d2)

    Module et argument

    • Module

      |z| = √(a2 + b2)

    • Module d’un produitContrôlée

      |z₁ × z₂| = |z₁| × |z₂|

    • Module d’un quotientContrôlée

      |z₁ / z₂| = |z₁| / |z₂|

    • Argument

      cos θ = a / |z| et sin θ = b / |z|

    Formes trigonométrique et exponentielle

    • Forme trigonométrique

      z = r (cos θ + i sin θ) avec r = |z|

    • Exponentielle complexe

      eiθ = cos θ + i sin θ

    • Identité d’Euler

      eiπ = −1

    • Formule de Moivre

      (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)

    • Produit en forme exponentielle

      r₁ eiθ₁ × r₂ eiθ₂ = r₁ r₂ eiθ₁ + iθ₂

    • Racines n-ièmes de l’unité

      e2ikπ / n, pour k = 0, 1, …, n − 1

    La méthode pas à pas

    1. Pour multiplier ou diviser, développez en utilisant i² = −1 ; pour un quotient, multipliez haut et bas par le conjugué du dénominateur.
    2. Pour le module, calculez a² + b² puis prenez la racine carrée.
    3. Pour un produit ou une puissance, la forme exponentielle est la plus simple : les modules se multiplient, les arguments s’additionnent.

    Exemples résolus

    Les pièges à éviter

    S’entraîner

    Chaque type d’équation ci-dessous se résout de tête avec la méthode de cette page : la réponse est toujours un nombre entier. Lancez une partie de dix questions, le jeu vous montre la méthode après chaque erreur.

    Toutes ces équations, dix questionsModule d’un nombre complexe

    Astuces de calcul mental liées : Factoriser avec les identités remarquables, Racine carrée d’un carré parfait, de tête.

    Ce cours fait partie du programme de : Bac+2.

    À lire ensuite

    Tous les cours

    Les quatre opérationsFractions et nombres décimauxPérimètres, aires et volumesProportionnalité, vitesse et unitésPourcentages et évolutionsÉquations du premier degréPuissances, racines et valeur absolueSecond degréExponentielle et logarithmeDérivées et intégralesDéterminantSuites et sommesCongruences et arithmétiqueDénombrement et probabilitésÉquations différentiellesFactorielle et fonction Gamma

    Relecture et vérification

    Ce cours est rédigé par l’éditeur du site. Les exemples chiffrés sont recalculés à chaque mise à jour, et 2 formules sur 16 sont testées sur des valeurs aléatoires. Il n’a pas encore été relu par un enseignant de mathématiques : si vous repérez une erreur ou une formule manquante, signalez-la, elle sera corrigée.

    Sources

    Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.

    Mis à jour le