Résoudre des équationsAvancéPour aller plus loin · n° 89 sur 94
Factoriser avec les identités remarquables
Trois identités reviennent sans cesse : a² − b² = (a − b)(a + b), a² + 2ab + b² = (a + b)² et a² − 2ab + b² = (a − b)². Les reconnaître transforme une équation du second degré en produit nul, ou en un carré égal à zéro.
La méthode
- Cherchez un carré moins un carré (x² − 49), ou un trinôme dont le terme du milieu est le double produit.
- Factorisez avec l’identité adaptée.
- Appliquez le produit nul ; pour un carré égal à 0, résolvez x − 5 = 0.
Exemples détaillés
x² − 49 = 0
x = 7
x² − 49 = 0 → (x − 7)(x + 7) = 0 → x = 7 ou x = −7
Le jeu demande la solution positive, 7.
x² − 10x + 25 = 0
x = 5
x² − 10x + 25 = 0 → (x − 5)² = 0 → x = 5
Une seule solution.
x² − 144 = 0
x = 12
x² − 144 = 0 → (x − 12)(x + 12) = 0 → x = 12 ou x = −12
Quand l’utiliser ?
Équations et inéquations du second degré, simplification de fractions algébriques, produits à calculer de tête (51 × 49 = 50² − 1).
L’erreur à éviter
Pour (x − 5)² = 0, il n’y a qu’une seule solution : x = 5. Le double produit 2 × 5 = 10 doit correspondre au terme en x.
À vous de jouer
Calculez de tête, puis cliquez sur un calcul pour afficher la réponse.
x² − 64 = 0 : x = ?
x = 8
(x − 8)(x + 8) = 0 : la solution positive est 8.
x² − 12x + 36 = 0 : x = ?
x = 6
(x − 6)² = 0 : x = 6.
x² − 169 = 0 : x = ?
x = 13
(x − 13)(x + 13) = 0 : la solution positive est 13.
Exercices à l’instinct
À essayerDes calculs choisis pour que cette astuce s’applique. Après une erreur, la technique est déroulée sur le calcul. Une bonne réponse est instinctive quand elle arrive en moins de 5 s (plus 0,4 s par chiffre de la réponse au-delà du premier) : vous avez alors la méthode « dans les doigts ». Avec 8 réponses instinctives sur vos 10 dernières, le réflexe est acquis.
Commencer les exercices (10 questions)Chronométré (60 secondes)
Voir aussi
Les formules derrière cette astuce : Second degré : discriminant, racines et factorisation, Nombres complexes : module, conjugué et formules.
Elle fait partie du programme de calcul mental de : 1re, Bac+2.
Questions fréquentes
Quand utiliser cette astuce ?
Équations et inéquations du second degré, simplification de fractions algébriques, produits à calculer de tête (51 × 49 = 50² − 1).
Quelle erreur faut-il éviter ?
Pour (x − 5)² = 0, il n’y a qu’une seule solution : x = 5. Le double produit 2 × 5 = 10 doit correspondre au terme en x.
Comment s’entraîner à cette astuce ?
Refaites de tête les exemples ci-dessus sans regarder le détail, puis essayez les trois calculs proposés et lancez les exercices à l’instinct : ils posent des calculs où l’astuce s’applique, mesurent votre temps de réponse et vous montrent la technique après chaque erreur. Quand 8 de vos 10 dernières réponses sont instinctives (en moins de 5 s pour cette astuce, plus 0,4 s par chiffre de la réponse au-delà du premier), le réflexe est acquis.
Sources
- Programme de mathématiques pour le cycle 4Ministère de l’Éducation nationale (annexe 2 de l’arrêté du 18 février 2026), 2026 (Programme officiel, France)Citée ici pour : manipuler les trois identités remarquables pour développer et factoriser (3e).
Ce que couvre cette source
Annexe de 20 pages publiée au Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026. Elle s’applique à la 5e dès la rentrée 2026, à la 4e à la rentrée 2027 et à la 3e à la rentrée 2028 (article 3 de l’arrêté). Elle couvre les nombres et le calcul (opérations, nombres relatifs, puissances, racine carrée, multiples et diviseurs, calcul littéral et équations du premier degré), la géométrie, les données et probabilités (moyenne, médiane), la proportionnalité et les fonctions. Elle ne mentionne ni le PGCD ni les hausses et baisses en pourcentage, et ne dit rien au-delà de la 3e.
Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.
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