Résoudre des équationsAvancéPour aller plus loin · n° 90 sur 94
Somme et produit des solutions
Si x² − Sx + P = 0 a deux solutions p et q, alors p + q = S et p × q = P. En lisant les coefficients, on cherche donc deux nombres dont la somme est S et le produit P, en parcourant les couples de facteurs de P. L’équation se factorise alors en (x − p)(x − q) = 0.
La méthode
- Écrivez l’équation sous la forme x² − Sx + P = 0 : repérez S et P.
- Listez les couples de facteurs de P et gardez celui dont la somme est S.
- Les solutions sont ces deux nombres.
Exemples détaillés
x² − 9x + 20 = 0
x = 5
x² − 9x + 20 = 0 → (x − 4)(x − 5) = 0 → x = 4 ou x = 5
4 + 5 = 9 et 4 × 5 = 20. La plus grande solution est 5.
x² − 11x + 24 = 0
x = 8
x² − 11x + 24 = 0 → (x − 3)(x − 8) = 0 → x = 3 ou x = 8
3 + 8 = 11 et 3 × 8 = 24.
x² − 13x + 36 = 0
x = 9
x² − 13x + 36 = 0 → (x − 4)(x − 9) = 0 → x = 4 ou x = 9
4 + 9 = 13 et 4 × 9 = 36.
Quand l’utiliser ?
Équations du second degré à solutions entières, vérification d’un calcul de discriminant, factorisation rapide d’un trinôme.
L’erreur à éviter
Le coefficient de x est l’opposé de la somme : dans x² − 9x + 20 = 0, la somme des solutions est +9, et leur produit +20.
À vous de jouer
Calculez de tête, puis cliquez sur un calcul pour afficher la réponse.
x² − 7x + 12 = 0 : x = ?
x = 4
3 + 4 = 7 et 3 × 4 = 12 : la plus grande solution est 4.
x² − 10x + 21 = 0 : x = ?
x = 7
3 + 7 = 10 et 3 × 7 = 21 : la plus grande solution est 7.
x² − 12x + 35 = 0 : x = ?
x = 7
5 + 7 = 12 et 5 × 7 = 35 : la plus grande solution est 7.
Exercices à l’instinct
À essayerDes calculs choisis pour que cette astuce s’applique. Après une erreur, la technique est déroulée sur le calcul. Une bonne réponse est instinctive quand elle arrive en moins de 5 s (plus 0,4 s par chiffre de la réponse au-delà du premier) : vous avez alors la méthode « dans les doigts ». Avec 8 réponses instinctives sur vos 10 dernières, le réflexe est acquis.
Commencer les exercices (10 questions)Chronométré (60 secondes)
Autre entraînement : S’entraîner sur le second degré.
Voir aussi
Les formules derrière cette astuce : Second degré : discriminant, racines et factorisation.
Elle fait partie du programme de calcul mental de : 1re, Terminale.
Questions fréquentes
Quand utiliser cette astuce ?
Équations du second degré à solutions entières, vérification d’un calcul de discriminant, factorisation rapide d’un trinôme.
Quelle erreur faut-il éviter ?
Le coefficient de x est l’opposé de la somme : dans x² − 9x + 20 = 0, la somme des solutions est +9, et leur produit +20.
Comment s’entraîner à cette astuce ?
Refaites de tête les exemples ci-dessus sans regarder le détail, puis essayez les trois calculs proposés et lancez les exercices à l’instinct : ils posent des calculs où l’astuce s’applique, mesurent votre temps de réponse et vous montrent la technique après chaque erreur. Quand 8 de vos 10 dernières réponses sont instinctives (en moins de 5 s pour cette astuce, plus 0,4 s par chiffre de la réponse au-delà du premier), le réflexe est acquis.
Sources
- Programmes de mathématiques de la seconde, de la première et de la terminale générales (Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026)Ministère de l’Éducation nationale (arrêtés du 26 février 2026), 2026 (Programmes officiels, France)Citée ici pour : l’expression de la somme et du produit des racines d’une fonction polynôme du second degré (première spécialité).
Ce que couvre cette source
Bulletin officiel de 438 pages dont trois programmes de mathématiques ont été lus : la seconde générale et technologique et la spécialité de première, applicables à la rentrée 2026-2027, et la spécialité de terminale, applicable à la rentrée 2027-2028 (jusque-là, l’arrêté de 2019 reste celui de la terminale). Les programmes de mathématiques complémentaires et ceux des voies technologique et professionnelle, publiés dans le même numéro, n’ont pas été lus. Ces trois textes ne mentionnent ni les nombres complexes, ni les matrices, ni la fonction Γ ; seul celui de seconde parle d’un déterminant, celui de deux vecteurs.
Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.
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