1re12 formules

Second degré : discriminant, racines et factorisation

Une équation du second degré s’écrit ax² + bx + c = 0, avec a différent de 0. On la résout en factorisant quand c’est possible, sinon avec le discriminant.

Voici les formules à connaître, la méthode pas à pas et les erreurs que l’on rencontre le plus souvent.

Les formules

0 formule sur 12 est contrôlée automatiquement : le site les teste sur des valeurs tirées au hasard à chaque mise à jour. Les autres (définitions, conditions, relations entre grandeurs) ne se testent pas ainsi.

Le discriminant et les racines

Équation
a x² + b x + c = 0
a différent de 0
Discriminant
Δ = b² − 4ac
Deux solutions (Δ > 0)
x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a)
Une solution double (Δ = 0)
x₀ = −b / (2a)
Aucune solution réelle (Δ < 0)
le trinôme ne s’annule jamais

Les relations entre les racines

Somme des racines
x₁ + x₂ = −b / a
Produit des racines
x₁ × x₂ = c / a
Factorisation
a x² + b x + c = a (x − x₁)(x − x₂)
quand Δ ≥ 0

La parabole

Forme canonique
a (x + b / (2a))² − Δ / (4a)
Abscisse du sommet
x = −b / (2a)
au milieu des deux racines
Ordonnée du sommet
y = −Δ / (4a)
Signe du trinôme
du signe de a à l’extérieur des racines, du signe de −a entre les racines

La méthode pas à pas

Mettez l’équation sous la forme ax² + bx + c = 0 et repérez a, b et c avec leur signe.
Cherchez une factorisation évidente : deux nombres de somme −b/a et de produit c/a.
Sinon, calculez le discriminant Δ = b² − 4ac, puis choisissez la formule selon son signe.
Vérifiez avec la somme et le produit des racines.

Exemples résolus

x² − 2x − 15 = 0
(−2)² − 4 × 1 × (−15) = 4 + 60 = 64
Δ = 64 et √64 = 8. Donc x = (2 − 8) / 2 = −3 ou x = (2 + 8) / 2 = 5.
x² − 6x + 9 = 0
(−6)² − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0
Δ = 0 : une racine double, x = 6 / 2 = 3. On reconnaît (x − 3)² = 0.
2x² + 3x − 2 = 0
3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
Δ = 25 et √25 = 5. Donc x = (−3 − 5) / 4 = −2 ou x = (−3 + 5) / 4 = 1/2.
x² − 7x + 12 = 0
on cherche deux nombres de somme 7 et de produit 12 : 3 et 4
x = 3 ou x = 4, sans calculer Δ : 3 + 4 = 7 et 3 × 4 = 12.

Les pièges à éviter

Dans Δ = b² − 4ac, les signes comptent : avec b = −6, b² vaut 36 (et non −36), et si c est négatif, −4ac s’ajoute.
Le dénominateur est 2a, pas 2 : la division porte sur toute la fraction (−b ± √Δ).
Quand Δ est négatif, l’équation n’a aucune solution réelle : ne tentez pas de calculer √Δ.
On ne divise pas par x pour « simplifier » : x² = 3x donne x(x − 3) = 0, donc x = 0 ou x = 3.

S’entraîner

Chaque type d’équation ci-dessous se résout de tête avec la méthode de cette page : la réponse est toujours un nombre entier. Lancez une partie de dix questions, le jeu vous montre la méthode après chaque erreur.

Toutes ces équations, dix questions Équation du second degré Équation produit nul Équation avec un carré

Astuces de calcul mental liées : Calculer le discriminant Δ = b² − 4ac, Somme et produit des solutions, Factoriser avec les identités remarquables, Équation sans terme constant : mettre x en facteur, Multiplier avec la différence de deux carrés.

Ce cours fait partie du programme de : 1re, Terminale.

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Relecture et vérification

Ce cours est rédigé par l’éditeur du site. Les exemples chiffrés sont recalculés à chaque mise à jour, et 0 formule sur 12 est testée sur des valeurs aléatoires. Il n’a pas encore été relu par un enseignant de mathématiques : si vous repérez une erreur ou une formule manquante, signalez-la, elle sera corrigée.

Sources

Programmes de mathématiques de la seconde, de la première et de la terminale générales (Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026)Ministère de l’Éducation nationale (arrêtés du 26 février 2026), 2026 (Programmes officiels, France)Citée ici pour : en première spécialité : forme canonique, discriminant, factorisation, résolution et signe, somme et produit des racines.
Ce que couvre cette source
Bulletin officiel de 438 pages dont trois programmes de mathématiques ont été lus : la seconde générale et technologique et la spécialité de première, applicables à la rentrée 2026-2027, et la spécialité de terminale, applicable à la rentrée 2027-2028 (jusque-là, l’arrêté de 2019 reste celui de la terminale). Les programmes de mathématiques complémentaires et ceux des voies technologique et professionnelle, publiés dans le même numéro, n’ont pas été lus. Ces trois textes ne mentionnent ni les nombres complexes, ni les matrices, ni la fonction Γ ; seul celui de seconde parle d’un déterminant, celui de deux vecteurs.

Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.

Mis à jour le 5 novembre 2026