Bac+88 formules
Factorielle et fonction Gamma : formules et valeurs
La factorielle n’est définie que pour les entiers. La fonction Gamma de Euler la prolonge à tous les nombres positifs : pour un entier n, Γ(n) = (n − 1)!.
Voici sa définition, la relation de récurrence qui permet de la calculer, les valeurs à connaître et l’équivalent de Stirling pour les grandes factorielles.
Les formules
3 formules sur 8 sont contrôlées automatiquement : le site les teste sur des valeurs tirées au hasard à chaque mise à jour. Les autres (définitions, conditions, relations entre grandeurs) ne se testent pas ainsi.
La fonction Gamma
Définition
Γ(z) = ∫ de 0 à +∞ de tz − 1 e−t dt
z strictement positif
Relation de récurrenceContrôlée
Γ(z + 1) = z Γ(z)
Lien avec la factorielleContrôlée
Γ(n) = (n − 1)!
pour tout entier n ≥ 1
Valeurs
Γ(1) = 1 et Γ(1/2) = √π
Demi-entiers
Γ(n + 1/2) = (2n)! / (4n × n!) × √π
Grandes factorielles
Formule de Stirling
n! ≈ √(2 π n) × (n / e)n
l’écart relatif tend vers 0 quand n grandit
Zéros finals
zéros de n! = E(n / 5) + E(n / 25) + E(n / 125) + …
Factorielles utilesContrôlée
5! = 120, 6! = 720, 7! = 5 040, 8! = 40 320, 9! = 362 880, 10! = 3 628 800
La méthode pas à pas
- Pour Γ(n) avec n entier, calculez (n − 1)! : Γ(7) = 6!.
- Pour retrouver n à partir de Γ(x) = valeur, cherchez la factorielle égale à cette valeur : x − 1 est son rang.
- Pour un demi-entier, appliquez la récurrence jusqu’à Γ(1/2) = √π.
Exemples résolus
Γ(7)
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
Γ(7) = 6! = 720.
Γ(x) = 720, trouver x
6 + 1 = 7
720 = 6!, donc x − 1 = 6 et x = 7 (solution entière).
Γ(3/2)
Γ(3/2) = (1/2) × Γ(1/2) = √π / 2
Avec Γ(z + 1) = z Γ(z) et Γ(1/2) = √π, on obtient Γ(3/2) = √π / 2.
Nombre de zéros de 50!
50 ÷ 5 + 50 ÷ 25 = 10 + 2 = 12
50! se termine par 12 zéros.
Les pièges à éviter
- Γ(n) = (n − 1)! et non n! : le décalage d’un cran est la source d’erreur la plus fréquente.
- Γ(0) n’est pas défini : la fonction Gamma diverge en 0 et en tout entier négatif.
- La formule de Stirling est une approximation : elle ne donne pas la valeur exacte de n!.
S’entraîner
Chaque type d’équation ci-dessous se résout de tête avec la méthode de cette page : la réponse est toujours un nombre entier. Lancez une partie de dix questions, le jeu vous montre la méthode après chaque erreur.
Astuces de calcul mental liées : Multiplier par 5 de tête.
Ce cours fait partie du programme de : Bac+8.
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Relecture et vérification
Ce cours est rédigé par l’éditeur du site. Les exemples chiffrés sont recalculés à chaque mise à jour, et 3 formules sur 8 sont testées sur des valeurs aléatoires. Il n’a pas encore été relu par un enseignant de mathématiques : si vous repérez une erreur ou une formule manquante, signalez-la, elle sera corrigée.
Pour vérifier ou aller plus loin : NIST Digital Library of Mathematical Functions, chapitre 5 : la fonction Gamma.
Sources
- Programmes de mathématiques de la seconde, de la première et de la terminale générales (Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026)Ministère de l’Éducation nationale (arrêtés du 26 février 2026), 2026 (Programmes officiels, France)Citée ici pour : la définition de n! et le nombre de permutations (terminale) ; rien sur la fonction Γ.
Ce que couvre cette source
Bulletin officiel de 438 pages dont trois programmes de mathématiques ont été lus : la seconde générale et technologique et la spécialité de première, applicables à la rentrée 2026-2027, et la spécialité de terminale, applicable à la rentrée 2027-2028 (jusque-là, l’arrêté de 2019 reste celui de la terminale). Les programmes de mathématiques complémentaires et ceux des voies technologique et professionnelle, publiés dans le même numéro, n’ont pas été lus. Ces trois textes ne mentionnent ni les nombres complexes, ni les matrices, ni la fonction Γ ; seul celui de seconde parle d’un déterminant, celui de deux vecteurs.
Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.
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