Bac+2 à Bac+314 formules

Déterminant : calculer un déterminant 2 × 2 et 3 × 3

Le déterminant est un nombre associé à une matrice carrée. Il dit si la matrice est inversible (déterminant non nul) et mesure le changement d’aire ou de volume qu’elle produit.

Voici comment le calculer à la main en 2 × 2 et en 3 × 3, ses propriétés, la formule de l’inverse et celles de Cramer pour résoudre un système.

Les formules

0 formule sur 14 est contrôlée automatiquement : le site les teste sur des valeurs tirées au hasard à chaque mise à jour. Les autres (définitions, conditions, relations entre grandeurs) ne se testent pas ainsi.

Les formules de calcul

Matrice 2 × 2
det [a b ; c d] = a d − b c
on écrit les lignes séparées par un point-virgule
Règle de Sarrus (3 × 3)
det = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃
valable seulement en 3 × 3
Développement selon la première ligne
det = a₁₁(a₂₂a₃₃ − a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃ − a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ − a₂₂a₃₁)
les signes alternent : + − +
Matrice triangulaire
det = produit des termes de la diagonale
vaut aussi pour une matrice diagonale

Les propriétés

Produit
det(A B) = det(A) × det(B)
Transposée
det(A^T) = det(A)
Multiple
det(k A) = kⁿ det(A)
pour une matrice n × n
Échange de deux lignes
le déterminant change de signe
Lignes proportionnelles
le déterminant est nul
Opération sur les lignes
ajouter à une ligne un multiple d’une autre ne change pas le déterminant
Inverse
det(A⁻¹) = 1 / det(A)
A inversible si et seulement si det(A) est différent de 0

Inverse et systèmes

Inverse d’une matrice 2 × 2
A⁻¹ = 1 / (a d − b c) × [d −b ; −c a]
Formules de Cramer
a x + b y = e et c x + d y = f donnent x = (e d − b f) / (a d − b c) et y = (a f − e c) / (a d − b c)
déterminant non nul
Aire d’un parallélogramme
aire = |x y′ − x′ y|
pour les vecteurs (x, y) et (x′, y′)

La méthode pas à pas

En 2 × 2 : multipliez la diagonale descendante, retranchez le produit de l’autre diagonale.
En 3 × 3 : appliquez Sarrus (trois produits positifs, trois négatifs) ou développez selon une ligne qui contient des zéros.
Cherchez d’abord une matrice triangulaire : on peut y arriver en ajoutant à une ligne un multiple d’une autre, ce qui ne change pas le déterminant.
Si le déterminant est nul, la matrice n’est pas inversible et le système de Cramer ne s’applique pas.

Exemples résolus

det [7 3 ; 2 5]
7 × 5 − 3 × 2 = 35 − 6 = 29
Le déterminant vaut 29.
det [x 3 ; 2 5] = 14, trouver x
(14 + 6) ÷ 5 = 20 ÷ 5 = 4
Le déterminant est 5x − 6 : l’équation 5x − 6 = 14 donne x = 4.
det [1 2 3 ; 0 1 4 ; 5 6 0] (Sarrus)
1 × 1 × 0 + 2 × 4 × 5 + 3 × 0 × 6 − 3 × 1 × 5 − 1 × 4 × 6 − 2 × 0 × 0 = 0 + 40 + 0 − 15 − 24 − 0 = 1
Le déterminant vaut 1 : la matrice est inversible.
det [x 1 2 ; 0 3 4 ; 0 0 5] = 30, trouver x
30 ÷ (3 × 5) = 30 ÷ 15 = 2
Matrice triangulaire : le déterminant est x × 3 × 5 = 15x. Avec 15x = 30, on trouve x = 2.
Système 2x + y = 7 et x + 3y = 11 (Cramer)
(7 × 3 − 1 × 11) ÷ (2 × 3 − 1 × 1) = 10 ÷ 5 = 2
x = 2 ; de même y = (2 × 11 − 7 × 1) / 5 = 3. Vérification : 2 × 2 + 3 = 7 et 2 + 3 × 3 = 11.
Inverse de A = [2 1 ; 5 3]
2 × 3 − 1 × 5 = 6 − 5 = 1
det(A) = 1, donc A⁻¹ = [3 −1 ; −5 2].

Les pièges à éviter

La règle de Sarrus ne s’applique qu’aux matrices 3 × 3 : au-delà, développez selon une ligne.
Le déterminant n’est pas linéaire : det(A + B) est différent de det(A) + det(B).
En développant selon une ligne, respectez l’alternance des signes + − + (le signe de la case i, j est (−1)^{i + j}).
Échanger deux lignes change le signe ; multiplier une ligne par k multiplie le déterminant par k.

S’entraîner

Chaque type d’équation ci-dessous se résout de tête avec la méthode de cette page : la réponse est toujours un nombre entier. Lancez une partie de dix questions, le jeu vous montre la méthode après chaque erreur.

Toutes ces équations, dix questions Déterminant 2 × 2 Déterminant d’une matrice triangulaire

Astuces de calcul mental liées : Produit en croix, Multiplier avec la différence de deux carrés.

Ce cours fait partie du programme de : Bac+2, Bac+3.

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Les quatre opérations Fractions et nombres décimaux Périmètres, aires et volumes Proportionnalité, vitesse et unités Pourcentages et évolutions Équations du premier degré Puissances, racines et valeur absolue Second degré Exponentielle et logarithme Dérivées et intégrales Nombres complexes Suites et sommes Congruences et arithmétique Dénombrement et probabilités Équations différentielles Factorielle et fonction Gamma

Relecture et vérification

Ce cours est rédigé par l’éditeur du site. Les exemples chiffrés sont recalculés à chaque mise à jour, et 0 formule sur 14 est testée sur des valeurs aléatoires. Il n’a pas encore été relu par un enseignant de mathématiques : si vous repérez une erreur ou une formule manquante, signalez-la, elle sera corrigée.

Sources

Programmes de mathématiques de la seconde, de la première et de la terminale générales (Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026)Ministère de l’Éducation nationale (arrêtés du 26 février 2026), 2026 (Programmes officiels, France)Citée ici pour : le déterminant de deux vecteurs et le critère de colinéarité (seconde).
Ce que couvre cette source
Bulletin officiel de 438 pages dont trois programmes de mathématiques ont été lus : la seconde générale et technologique et la spécialité de première, applicables à la rentrée 2026-2027, et la spécialité de terminale, applicable à la rentrée 2027-2028 (jusque-là, l’arrêté de 2019 reste celui de la terminale). Les programmes de mathématiques complémentaires et ceux des voies technologique et professionnelle, publiés dans le même numéro, n’ont pas été lus. Ces trois textes ne mentionnent ni les nombres complexes, ni les matrices, ni la fonction Γ ; seul celui de seconde parle d’un déterminant, celui de deux vecteurs.
Mathématiques expertes : programme de l’enseignement optionnel de la classe terminale généraleMinistère de l’Éducation nationale (juin 2019), 2019 (Programme officiel, France)Citée ici pour : les matrices : opérations, inverse, puissances, systèmes linéaires (terminale, option) ; rien sur le déterminant d’une matrice.
Ce que couvre cette source
Texte de 16 pages (juin 2019) : nombres complexes (forme algébrique, module, argument, formes trigonométrique et exponentielle, formules de Moivre et du binôme), arithmétique (congruences, théorèmes de Bézout et de Gauss, petit théorème de Fermat) et graphes et matrices (opérations, inverse, puissances, systèmes linéaires, chaînes de Markov). Il ne parle pas du déterminant d’une matrice. Je n’ai pas vérifié s’il a été modifié depuis 2019.

Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.

Mis à jour le 5 novembre 2026