Bac+510 formules

Équations différentielles : les formules à connaître

Une équation différentielle relie une fonction à sa dérivée. On cherche la fonction, pas un nombre. Quelques types d’équations couvrent la plupart des exercices, et chacun a sa solution toute faite.

Voici les formules du premier et du second ordre, avec la méthode pour déterminer les constantes à partir des conditions initiales.

Les formules

0 formule sur 10 est contrôlée automatiquement : le site les teste sur des valeurs tirées au hasard à chaque mise à jour. Les autres (définitions, conditions, relations entre grandeurs) ne se testent pas ainsi.

Premier ordre

y′ = a y
y = C e^{a x}
avec y(0) = y₀ : y = y₀ e^(a x)
y′ = a y + b
y = C e^{a x} − b / a
a différent de 0 ; la constante −b/a est la solution d’équilibre
y′ = f(x)
y = une primitive de f, plus une constante
Variables séparables
y′ = g(x) h(y) donne dy / h(y) = g(x) dx
on intègre chaque côté
Cas y′ = x y
y = C e^{x² / 2}

Second ordre à coefficients constants

Équation caractéristique
y″ + a y′ + b y = 0 donne r² + a r + b = 0
Δ > 0 : deux racines r₁ et r₂
y = A e^{r₁ x} + B e^{r₂ x}
Δ = 0 : racine double r
y = (A + B x) e^{r x}
Δ < 0 : racines α ± iβ
y = e^{α x} (A cos(β x) + B sin(β x))
Oscillateur
y″ + ω² y = 0 donne y = A cos(ω x) + B sin(ω x)

La méthode pas à pas

Reconnaissez le type d’équation : premier ordre, second ordre, variables séparables.
Écrivez la solution générale avec ses constantes (C, ou A et B).
Utilisez les conditions initiales (y(0) = …, y′(0) = …) pour déterminer ces constantes.
Vérifiez en dérivant la solution et en la replaçant dans l’équation.

Exemples résolus

y′ = k y avec y(0) = 1 et y(2) = e⁶, trouver k
6 ÷ 2 = 3
y = e^{k x}, donc e^2k = e⁶ et 2k = 6 : k = 3.
y′ = 2y + 6 : solution constante
−6 ÷ 2 = −3
La solution d’équilibre est −b/a = −3. Vérification : y′ = 0 et 2 × (−3) + 6 = 0.
y″ − 3y′ + 2y = 0 : discriminant de l’équation caractéristique
(−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
r² − 3r + 2 = 0 a pour racines 1 et 2, donc y = A e^x + B e^2x.
y″ + 4y = 0
ω² = 4, donc ω = 2
y = A cos(2x) + B sin(2x).

Les pièges à éviter

La solution générale d’une équation du premier ordre contient une constante, celle du second ordre en contient deux : il faut autant de conditions initiales.
Dans y′ = a y + b, ne pas oublier la solution d’équilibre −b/a : sans elle, la solution est fausse.
Pour Δ < 0, les racines sont complexes : la solution réelle s’écrit avec un cosinus et un sinus, pas avec des exponentielles complexes.
e^{a x} est dérivé en a e^{a x} : le facteur a se retrouve à chaque dérivation.

S’entraîner

Chaque type d’équation ci-dessous se résout de tête avec la méthode de cette page : la réponse est toujours un nombre entier. Lancez une partie de dix questions, le jeu vous montre la méthode après chaque erreur.

Toutes ces équations, dix questions Équation différentielle y’ = xy

Astuces de calcul mental liées : La règle de 72 : doubler un capital.

Ce cours fait partie du programme de : Bac+5.

Tous les cours

Les quatre opérations Fractions et nombres décimaux Périmètres, aires et volumes Proportionnalité, vitesse et unités Pourcentages et évolutions Équations du premier degré Puissances, racines et valeur absolue Second degré Exponentielle et logarithme Dérivées et intégrales Déterminant Nombres complexes Suites et sommes Congruences et arithmétique Dénombrement et probabilités Factorielle et fonction Gamma

Relecture et vérification

Ce cours est rédigé par l’éditeur du site. Les exemples chiffrés sont recalculés à chaque mise à jour, et 0 formule sur 10 est testée sur des valeurs aléatoires. Il n’a pas encore été relu par un enseignant de mathématiques : si vous repérez une erreur ou une formule manquante, signalez-la, elle sera corrigée.

Sources

Programmes de mathématiques de la seconde, de la première et de la terminale générales (Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026)Ministère de l’Éducation nationale (arrêtés du 26 février 2026), 2026 (Programmes officiels, France)Citée ici pour : en terminale : les équations y′ = f, y′ = ay et y′ = ay + b.
Ce que couvre cette source
Bulletin officiel de 438 pages dont trois programmes de mathématiques ont été lus : la seconde générale et technologique et la spécialité de première, applicables à la rentrée 2026-2027, et la spécialité de terminale, applicable à la rentrée 2027-2028 (jusque-là, l’arrêté de 2019 reste celui de la terminale). Les programmes de mathématiques complémentaires et ceux des voies technologique et professionnelle, publiés dans le même numéro, n’ont pas été lus. Ces trois textes ne mentionnent ni les nombres complexes, ni les matrices, ni la fonction Γ ; seul celui de seconde parle d’un déterminant, celui de deux vecteurs.
Classes préparatoires MP et MPI : programme de mathématiquesMinistère de l’Enseignement supérieur, de la Recherche et de l’Innovation (Bulletin officiel n° 31 du 26 août 2021), 2021 (Programme officiel, France)Citée ici pour : les équations différentielles linéaires (deuxième année de classe préparatoire MP et MPI).
Ce que couvre cette source
Programme de deuxième année (Bac+2) dans un Bulletin officiel de 567 pages qui en contient d’autres. Il couvre notamment les séries numériques et vectorielles et les équations différentielles linéaires. Il ne contient pas le programme de première année (MPSI), et il ne parle pas de la fonction Γ d’Euler (les « Γ » du texte désignent des courbes ou des couples). Daté de 2021 ; je n’ai pas vérifié s’il a été remplacé depuis.

Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.

Mis à jour le 5 novembre 2026