Résoudre des équationsAvancéPour aller plus loin · n° 94 sur 94

Équation avec x en exposant : comparer les puissances

Dans une équation où l’inconnue est en exposant (2^x = 64), on écrit le second membre comme une puissance de la même base : 64 = 2^6. Deux puissances égales de même base ont le même exposant : x = 6. Connaître les puissances de 2, 3, 5 et 10 suffit à résoudre la plupart des cas.

La méthode

Écrivez le second membre comme une puissance de la base.
Égalez les exposants.
Vérifiez : la base élevée à la puissance x doit redonner le second membre.

Exemples détaillés

2^x = 64
x = 6
2^x = 64 → 2^x = 2⁶ → x = 6
3^x = 81
x = 4
3^x = 81 → 3^x = 3⁴ → x = 4
5^x = 125
x = 3
5^x = 125 → 5^x = 5³ → x = 3

Quand l’utiliser ?

Croissance exponentielle (placements, populations), puissances de 2 en informatique, échelles logarithmiques (décibels, pH).

L’erreur à éviter

Les bases doivent être identiques avant de comparer les exposants : pour 4^x = 64, écrivez 64 = 4^3 (et non 2^6), ou passez par la base 2 des deux côtés.

À vous de jouer

Calculez de tête, puis cliquez sur un calcul pour afficher la réponse.

2^x = 128 : x = ?
x = 7
128 = 2^7, donc x = 7.
3^x = 243 : x = ?
x = 5
243 = 3^5, donc x = 5.
4^x = 256 : x = ?
x = 4
256 = 4^4, donc x = 4.

Exercices à l’instinct

À essayer

Des calculs choisis pour que cette astuce s’applique. Après une erreur, la technique est déroulée sur le calcul. Une bonne réponse est instinctive quand elle arrive en moins de 5 s (plus 0,4 s par chiffre de la réponse au-delà du premier) : vous avez alors la méthode « dans les doigts ». Avec 8 réponses instinctives sur vos 10 dernières, le réflexe est acquis.

Commencer les exercices (10 questions)Chronométré (60 secondes)

Voir aussi

Équation x² = a : chercher la racine Trouver un nombre manquant : l’opération inverse Comment progresser en calcul mental

Les formules derrière cette astuce : Puissances, racines et valeur absolue : les formules, Exponentielle et logarithme : formules et équations.

Elle fait partie du programme de calcul mental de : 1re.

Questions fréquentes

Quand utiliser cette astuce ?

Croissance exponentielle (placements, populations), puissances de 2 en informatique, échelles logarithmiques (décibels, pH).

Quelle erreur faut-il éviter ?

Les bases doivent être identiques avant de comparer les exposants : pour 4^x = 64, écrivez 64 = 4^3 (et non 2^6), ou passez par la base 2 des deux côtés.

Comment s’entraîner à cette astuce ?

Refaites de tête les exemples ci-dessus sans regarder le détail, puis essayez les trois calculs proposés et lancez les exercices à l’instinct : ils posent des calculs où l’astuce s’applique, mesurent votre temps de réponse et vous montrent la technique après chaque erreur. Quand 8 de vos 10 dernières réponses sont instinctives (en moins de 5 s pour cette astuce, plus 0,4 s par chiffre de la réponse au-delà du premier), le réflexe est acquis.

Sources

Cette technique est classique en calcul mental, mais aucun document lu pour ce site ne la décrit : ses exemples sont recalculés par les tests du site, ce qui prouve le calcul, pas l’intérêt de la méthode.

Mis à jour le 5 novembre 2026