Résoudre des équationsAvancéPour aller plus loin · n° 93 sur 94
Équation avec une valeur absolue
La valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro : |x − 3| = 5 dit que x est à une distance de 5 de 3. Il y a donc deux solutions, 5 de chaque côté de 3 : x = 3 + 5 = 8 ou x = 3 − 5 = −2.
La méthode
- Écrivez les deux cas : l’expression vaut b, ou elle vaut −b.
- Résolvez chacune des deux équations.
- Donnez les deux solutions (si b est strictement positif).
Exemples détaillés
|x − 3| = 5
x = 8
|x − 3| = 5 → x − 3 = 5 ou x − 3 = −5 → x = 8 ou x = −2
Deux solutions : 8 et −2.
|x − 9| = 4
x = 13
|x − 9| = 4 → x − 9 = 4 ou x − 9 = −4 → x = 13 ou x = 5
Deux solutions : 13 et 5.
|x − 10| = 6
x = 16
|x − 10| = 6 → x − 10 = 6 ou x − 10 = −6 → x = 16 ou x = 4
Deux solutions : 16 et 4.
Quand l’utiliser ?
Distances sur une droite, tolérances (écart maximal par rapport à une mesure) et inéquations.
L’erreur à éviter
N’oubliez pas le second cas, x − 3 = −5. La valeur absolue d’un nombre négatif est son opposé : |−5| = 5.
À vous de jouer
Calculez de tête, puis cliquez sur un calcul pour afficher la réponse.
|x − 4| = 3 : x = ?
x = 7
Solutions 7 et 1 : la plus grande est 7.
|x − 12| = 5 : x = ?
x = 17
Solutions 17 et 7 : la plus grande est 17.
|x − 20| = 7 : x = ?
x = 27
Solutions 27 et 13 : la plus grande est 27.
Exercices à l’instinct
À essayerDes calculs choisis pour que cette astuce s’applique. Après une erreur, la technique est déroulée sur le calcul. Une bonne réponse est instinctive quand elle arrive en moins de 5 s (plus 0,4 s par chiffre de la réponse au-delà du premier) : vous avez alors la méthode « dans les doigts ». Avec 8 réponses instinctives sur vos 10 dernières, le réflexe est acquis.
Commencer les exercices (10 questions)Chronométré (60 secondes)
Autre entraînement : S’entraîner sur les valeurs absolues.
Voir aussi
Les formules derrière cette astuce : Puissances, racines et valeur absolue : les formules.
Elle fait partie du programme de calcul mental de : 2de.
Questions fréquentes
Quand utiliser cette astuce ?
Distances sur une droite, tolérances (écart maximal par rapport à une mesure) et inéquations.
Quelle erreur faut-il éviter ?
N’oubliez pas le second cas, x − 3 = −5. La valeur absolue d’un nombre négatif est son opposé : |−5| = 5.
Comment s’entraîner à cette astuce ?
Refaites de tête les exemples ci-dessus sans regarder le détail, puis essayez les trois calculs proposés et lancez les exercices à l’instinct : ils posent des calculs où l’astuce s’applique, mesurent votre temps de réponse et vous montrent la technique après chaque erreur. Quand 8 de vos 10 dernières réponses sont instinctives (en moins de 5 s pour cette astuce, plus 0,4 s par chiffre de la réponse au-delà du premier), le réflexe est acquis.
Sources
- Programmes de mathématiques de la seconde, de la première et de la terminale générales (Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026)Ministère de l’Éducation nationale (arrêtés du 26 février 2026), 2026 (Programmes officiels, France)Citée ici pour : en seconde : la valeur absolue comme distance à 0, l’inéquation |x − a| ≤ r et la résolution d’une équation f(x) = k pour la fonction valeur absolue.
Ce que couvre cette source
Bulletin officiel de 438 pages dont trois programmes de mathématiques ont été lus : la seconde générale et technologique et la spécialité de première, applicables à la rentrée 2026-2027, et la spécialité de terminale, applicable à la rentrée 2027-2028 (jusque-là, l’arrêté de 2019 reste celui de la terminale). Les programmes de mathématiques complémentaires et ceux des voies technologique et professionnelle, publiés dans le même numéro, n’ont pas été lus. Ces trois textes ne mentionnent ni les nombres complexes, ni les matrices, ni la fonction Γ ; seul celui de seconde parle d’un déterminant, celui de deux vecteurs.
Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.
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