Résoudre des équationsIntermédiairePour aller plus loin · n° 66 sur 94
Le produit nul : un facteur doit valoir zéro
Un produit de deux nombres est nul si, et seulement si, l’un des deux est nul. Pour l’équation (x − 3)(x − 7) = 0, il suffit d’annuler chaque facteur séparément : x − 3 = 0 ou x − 7 = 0. On obtient deux solutions, sans rien développer.
La méthode
- Vérifiez que l’équation est factorisée et égale à 0.
- Écrivez que chaque facteur vaut 0.
- Résolvez chaque équation simple : toutes les solutions sont valables.
Exemples détaillés
(x − 3)(x − 7) = 0
x = 7
(x − 3)(x − 7) = 0 → x − 3 = 0 ou x − 7 = 0 → x = 3 ou x = 7
Deux solutions, 3 et 7. Le jeu demande la plus petite ou la plus grande.
(x − 2)(x − 9) = 0
x = 9
(x − 2)(x − 9) = 0 → x − 2 = 0 ou x − 9 = 0 → x = 2 ou x = 9
Solutions 2 et 9.
(x − 5)(x + 4) = 0
x = 5
(x − 5)(x + 4) = 0 → x − 5 = 0 ou x + 4 = 0 → x = 5 ou x = −4
Solutions 5 et −4 : x + 4 = 0 donne x = −4.
Quand l’utiliser ?
Équations du second degré déjà factorisées, tableaux de signes, et résolution rapide quand la factorisation est visible.
L’erreur à éviter
Ne développez pas : (x − 3)(x − 7) devient x² − 10x + 21, bien plus difficile à résoudre. Et attention aux signes : x + 4 = 0 donne x = −4.
À vous de jouer
Calculez de tête, puis cliquez sur un calcul pour afficher la réponse.
(x − 4)(x − 8) = 0 : x = ?
x = 8
Solutions 4 et 8 : la plus grande est 8.
(x − 1)(x − 6) = 0 : x = ?
x = 6
Solutions 1 et 6 : la plus grande est 6.
(x − 5)(x − 11) = 0 : x = ?
x = 11
Solutions 5 et 11 : la plus grande est 11.
Exercices à l’instinct
À essayerDes calculs choisis pour que cette astuce s’applique. Après une erreur, la technique est déroulée sur le calcul. Une bonne réponse est instinctive quand elle arrive en moins de 3,5 s (plus 0,4 s par chiffre de la réponse au-delà du premier) : vous avez alors la méthode « dans les doigts ». Avec 8 réponses instinctives sur vos 10 dernières, le réflexe est acquis.
Commencer les exercices (10 questions)Chronométré (60 secondes)
Autre entraînement : S’entraîner sur le produit nul.
Voir aussi
Les formules derrière cette astuce : Équations du premier degré : formules et méthode.
Elle fait partie du programme de calcul mental de : 2de.
Questions fréquentes
Quand utiliser cette astuce ?
Équations du second degré déjà factorisées, tableaux de signes, et résolution rapide quand la factorisation est visible.
Quelle erreur faut-il éviter ?
Ne développez pas : (x − 3)(x − 7) devient x² − 10x + 21, bien plus difficile à résoudre. Et attention aux signes : x + 4 = 0 donne x = −4.
Comment s’entraîner à cette astuce ?
Refaites de tête les exemples ci-dessus sans regarder le détail, puis essayez les trois calculs proposés et lancez les exercices à l’instinct : ils posent des calculs où l’astuce s’applique, mesurent votre temps de réponse et vous montrent la technique après chaque erreur. Quand 8 de vos 10 dernières réponses sont instinctives (en moins de 3,5 s pour cette astuce, plus 0,4 s par chiffre de la réponse au-delà du premier), le réflexe est acquis.
Sources
- Programme de mathématiques pour le cycle 4Ministère de l’Éducation nationale (annexe 2 de l’arrêté du 18 février 2026), 2026 (Programme officiel, France)Citée ici pour : résoudre une équation produit nul (3e).
Ce que couvre cette source
Annexe de 20 pages publiée au Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026. Elle s’applique à la 5e dès la rentrée 2026, à la 4e à la rentrée 2027 et à la 3e à la rentrée 2028 (article 3 de l’arrêté). Elle couvre les nombres et le calcul (opérations, nombres relatifs, puissances, racine carrée, multiples et diviseurs, calcul littéral et équations du premier degré), la géométrie, les données et probabilités (moyenne, médiane), la proportionnalité et les fonctions. Elle ne mentionne ni le PGCD ni les hausses et baisses en pourcentage, et ne dit rien au-delà de la 3e.
- Programmes de mathématiques de la seconde, de la première et de la terminale générales (Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026)Ministère de l’Éducation nationale (arrêtés du 26 février 2026), 2026 (Programmes officiels, France)Citée ici pour : l’équation produit nul A(x)B(x) = 0 en seconde.
Ce que couvre cette source
Bulletin officiel de 438 pages dont trois programmes de mathématiques ont été lus : la seconde générale et technologique et la spécialité de première, applicables à la rentrée 2026-2027, et la spécialité de terminale, applicable à la rentrée 2027-2028 (jusque-là, l’arrêté de 2019 reste celui de la terminale). Les programmes de mathématiques complémentaires et ceux des voies technologique et professionnelle, publiés dans le même numéro, n’ont pas été lus. Ces trois textes ne mentionnent ni les nombres complexes, ni les matrices, ni la fonction Γ ; seul celui de seconde parle d’un déterminant, celui de deux vecteurs.
Ce que la page écrit au-delà de ces documents est de l’éditeur : des techniques classiques de calcul mental, des exemples recalculés par les tests du site et des choix de présentation.
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