Vérifier un résultatAvancéPour aller plus loin · n° 84 sur 94
La preuve par 9 : reste dans la division par 9
Un nombre et la somme de ses chiffres laissent le même reste dans la division par 9. Pour 4 786, la somme des chiffres est 25, qui laisse 7. On peut ainsi contrôler une addition ou une multiplication : le reste du résultat doit être celui du calcul fait sur les restes.
La méthode
- Additionnez les chiffres du nombre.
- Retirez les multiples de 9 de la somme : ce qui reste est le reste dans la division par 9 (un 9 compte pour 0).
- Pour contrôler une multiplication, multipliez les restes des facteurs et comparez avec le reste du produit.
Exemples détaillés
4 + 7 + 8 + 6 = 25
4 + 7 + 8 + 6 = 25 = 2 × 9 + 7
Le reste de 4 786 dans la division par 9 est 7.
3 + 5 + 1 + 9 = 18
3 + 5 + 1 + 9 = 18 = 2 × 9 + 0
Le reste de 3 519 est 0 : 3 519 est divisible par 9.
2 + 9 + 6 + 4 = 21
2 + 9 + 6 + 4 = 21 = 2 × 9 + 3
Le reste de 2 964 est 3.
Quand l’utiliser ?
Vérifier une addition, une soustraction ou une multiplication longue ; savoir si un nombre est divisible par 9 ou par 3.
L’erreur à éviter
Comme le dernier chiffre, la preuve par 9 détecte les erreurs sans garantir l’exactitude : une erreur de 9 ou une inversion de chiffres lui échappe.
À vous de jouer
Calculez de tête, puis cliquez sur un calcul pour afficher la réponse.
5 + 8 + 3 + 6 = ?
22
22 = 2 × 9 + 4 : le reste de 5 836 est 4.
7 + 2 + 9 + 1 = ?
19
19 = 2 × 9 + 1 : le reste de 7 291 est 1.
6 + 4 + 5 + 8 = ?
23
23 = 2 × 9 + 5 : le reste de 6 458 est 5.
Exercices à l’instinct
À essayerDes calculs choisis pour que cette astuce s’applique. Après une erreur, la technique est déroulée sur le calcul. Une bonne réponse est instinctive quand elle arrive en moins de 5 s (plus 0,4 s par chiffre de la réponse au-delà du premier) : vous avez alors la méthode « dans les doigts ». Avec 8 réponses instinctives sur vos 10 dernières, le réflexe est acquis.
Commencer les exercices (10 questions)Chronométré (60 secondes)
Voir aussi
Les formules derrière cette astuce : Congruences et arithmétique : formules et méthode.
Elle fait partie du programme de calcul mental de : 1re, Bac+1, Bac+3, Bac+8.
Questions fréquentes
Quand utiliser cette astuce ?
Vérifier une addition, une soustraction ou une multiplication longue ; savoir si un nombre est divisible par 9 ou par 3.
Quelle erreur faut-il éviter ?
Comme le dernier chiffre, la preuve par 9 détecte les erreurs sans garantir l’exactitude : une erreur de 9 ou une inversion de chiffres lui échappe.
Comment s’entraîner à cette astuce ?
Refaites de tête les exemples ci-dessus sans regarder le détail, puis essayez les trois calculs proposés et lancez les exercices à l’instinct : ils posent des calculs où l’astuce s’applique, mesurent votre temps de réponse et vous montrent la technique après chaque erreur. Quand 8 de vos 10 dernières réponses sont instinctives (en moins de 5 s pour cette astuce, plus 0,4 s par chiffre de la réponse au-delà du premier), le réflexe est acquis.
Sources
Cette technique est classique en calcul mental, mais aucun document lu pour ce site ne la décrit : ses exemples sont recalculés par les tests du site, ce qui prouve le calcul, pas l’intérêt de la méthode.
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